Penggunaan Dalil Pythagoras

MAKALAH

MATEMATIKA

PENGGUNAAN DALIL PYTHAGORAS DALAM

PEMECAHAN MASALAH SEHARI-HARI

Dosen Pengampu :

KURNIA HIDAYATI, M. Pd

Oleh :

LIA DUWI AGISTINA (210610094)

JURUSAN TARBIYAH

PENDIDIKAN GURU MADRASAH IBTIDAIYAH (PGMI)

STAIN PONOROGO

 APRIL 2012

 Penggunaan Dalil Pythagoras

Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk berbagai permasalahan yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Beberapa penggunaan itu diantaranya menghitung panjang sisi-sisi segitiga siku-siku, menentukan jenis segitiga, menentukan diagonal bidang dan ruang.  Selain itu dapat pula digunakan untuk memecahkan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan dalil Pythagoras.

Berikut penggunaan dalil Pythagoras tersebut: 

1.   Menghitung panjang sisi-sisi segitiga siku- siku 

Pada setiap segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Gambar diatas adalah yang siku-siku di A. Sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut sisi siku-siku yaitu AB dan AC. Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa).

Sehingga dari pembuktian yang telah dilakukan dalil Pythagoras dapat digunakan untuk menghitung panjang sisi segitiga siku-siku. Dan dapat diturunkan rumus-rumus berikut ini :

Jika siku-siku dititik A, maka berlaku :

BC²  =  AC² + AB²  atau

  a²     =    b²   +   c², atau

 b²   =      a²   -   c², atau

  c²  =      a²   -   b²  

Contoh 1   :

1.   Misalkan segitiga siku-siku dititik A. Panjang AB = 4 cm dan AC = 3cm. Hitunglah panjang BC!

Jawab  :

                  BC²  = AC ²    + AB²

                           = 3²    +  4²

                            =  9   +  16

                            =  akar 25

                             =  5

            Jadi diketahui panjang BC adalah 5 cm.

                Contoh 2   :

2.   Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Jika panjang AB = 7 cm dan BC = 25 cm, hitunglah panjang AC!

Jawab :

AC² = BC²  -  AB²                      

          =  25² -  7²

         =  625  - 49

         =  576

AC   =  akar 576

         =  24

Jadi dapat diketahui panjang AC adalah 24 cm.

                      

  Contoh 3   :

3.  Suatu segitiga siku-siku, diketahui panjang AC = 15 cm, panjang BC = 17 cm. Maka tentukanlah panjang AB!

Jawab :

AB²   =  BC²   - AC²

         =  17²   -  15²

         =  289 - 225

         = 64

AB   = akar 64

         = 8

Jadi diketahui panjang AB pada segitiga tersebut adalah 8 cm.

          2.  Menentukan Jenis Segitiga

                    Dalil pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Dengan kata lain kebalikan dalil      pythagoras juga berlaku. Kebalikan dalil pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Jika suatu segitiga mempunyai panjang sisi-sisinya a, b, c dan a² + b² = c², maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau tidak bila telah diketahui panjang sisi-sisinya.

Dengan demikian, jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan c panjang sisi terpanjang, bila

a.       a²  +  b²  > c², maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip

b.      a²  +  b²  = c², maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku

c.       a²  +  b²  < c², maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul

Contoh :

Tentukan jenis masing-masing segitiga yang panjang sisinya:

a.       5, 12, 134

b.      8, 9, 10

c.       4, 7, 11

Jawab :

a.       5² + 12² = 169 dan 13² = 169, akibatnya 5² + 12² = 13²

Jadi segitiga siku-siku

b.      8² + 9²  = 145 dan 10² = 100, akibatnya 8² + 9²   >  10²

Jadi segitiga lancip

c.       4²  + 7²  = 65 dan 11² = 121, akibatnya 4²  + 7²  <  11²

Jadi segitiga tumpul

  

             

 

       Tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras)

            Ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sering dinyatakan dalam 3 bilangan asli yang tepat. Tiga bilangan seperti itu disebut Tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras).

            Untuk mendapatkan 3 bilangan yang merupakan Tigaan Pythagoras, seperti mengisi tabel berikut dengan cara memilih dua bilangan asli sembarang, misalnya a dan b, dengan ketentuan a > b .

a	b	a2 + b2	a2 - b2	2ab	Tigaan Pythagoras
2 3 3 4	1 1 2 3	22 + 12 = 5 32 + 12 = 10 32 + 22 = 13 42 + 32 = 25	22 - 12 = 3 32 - 12 = 8 32 - 22 = 5 42 - 32 = 7	2 x 2 x 1 = 4 2 x 3 x 1 = 6 2 x 3 x 2 = 12 2 x 4 x 3 = 24	5, 3, 4 10, 8, 6 13, 5, 12 25, 7, 24

            3. Menentukan diagonal bidang dan ruang

                 Berikut contoh penggunaan dalil Pythagoras pada bidang datar dan bangun ruang

               Contoh :

          Sebuah persegi panjang  berukuran panjang  AE 16 cm dan lebar ED 12 cm. Hitunglah panjang    salah satu diagonalnya!

           Jawab :

             Misal panjang diagonalnya x cm, maka :

                                     AD²     = 16²  +  12² 

                                                 = 256 +  144

    =  400
AD   = akar 400

     = 20

Jadi panjang salah satu diagonalnya adalah 20 cm.

Pada balok ABCD.EFGH diatas , diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan  CG = 15 cm. Hitunglah panjang AC dan AG!

Jawab :

a. Segitiga ABC siku-siku dititik B, maka :

    AC² = AB²  +  BC²

            =  8²    +  6²

            = 64  +  36

             = 100

    AC  = akar 100

    AC  = 10

    Jadi, panjang AC adalah 10 cm.
b. Segitiga ACG siku-siku di titik C, maka :

   AG²     =   AC2  +  CG²

    =  10²    +  15²

                =   100  +  225

                =   325

   AG        =  akar 325

                = 18,027 atau dengan cara :

  AG        = akar 3,25 x 100

               = akar 3,25 x akar 100

               = 1,8     x   10

               =  18 atau

  AG        =  akar 325

               = akar 5 x 5 x 13

               = akar 5² x 13

               = 5 akar 13 (dalam bentuk sederhana)

 Jadi, panjang AG = 18,027 cm, atau 18 cm, atau 5 akar 13 cm.

   
Penggunaan Dalil Pythagoras dalam Kehidupan

Berikut ini contoh penggunaan dalil Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari

Contoh :

Suatu gambar menunjukkan tembok bagian samping sebuah rumah. Panjang AB = 8 m, BC = 4 m, dan CD = 10 m. Jika tembok itu akan dicat dengan biaya Rp 500,00 per meter persegi, hitunglah seluruh biaya yang diperlukan!

Jawab :

ED²  = CD² -   EC²

         = 10²  -  8²

         = 100  -  64

         = 36

ED    = akar 36

ED    = 6

AD   = AE + ED

         = 4    +  6

         = 10

Luas Trapesium ABCD          = (AD + BC ) AB

                                                               2

                                                = (10 + 4) X 8

                                                            2

                                                = 56

Luas trapesium ABCD           = 56 m²

Jadi, biaya pengecatan            = 56 Rp 500,00

                                                = Rp 28.000,00

      








       Pada gambar diatas sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah Utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat semula!

Jawab :

  CA²    = CB² + BA²

             =  80²  +  60²

            = 6.400 + 3.600

            = 10.000

AC      = akar 10.000

AC      =  100

Jadi, jarak kapal sekarang dari tempat semula adalah 100 km.

DAFTAR PUSTAKA

BUKU LAPIS MATEMATIKA 3 PGMI

Matematika untuk SMP Kelas 2, semester 1 Penerbit Erlangga