MAKALAH
MATEMATIKA
PENGGUNAAN DALIL
PYTHAGORAS DALAM
PEMECAHAN
MASALAH SEHARI-HARI
Dosen Pengampu :
KURNIA HIDAYATI, M. Pd
Oleh :
LIA DUWI AGISTINA (210610094)
JURUSAN TARBIYAH
PENDIDIKAN GURU
MADRASAH IBTIDAIYAH (PGMI)
STAIN PONOROGO
APRIL 2012
Penggunaan Dalil Pythagoras
Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk berbagai permasalahan yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Beberapa penggunaan itu diantaranya menghitung panjang sisi-sisi segitiga siku-siku, menentukan jenis segitiga, menentukan diagonal bidang dan ruang. Selain itu dapat pula digunakan untuk memecahkan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan dalil Pythagoras.
Berikut penggunaan dalil Pythagoras tersebut:
Pada setiap segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Gambar diatas adalah yang siku-siku di A. Sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut sisi siku-siku yaitu AB dan AC. Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa).
1. Menghitung
panjang sisi-sisi segitiga siku- siku
Pada setiap segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Gambar diatas adalah yang siku-siku di A. Sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut sisi siku-siku yaitu AB dan AC. Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa).
Sehingga
dari pembuktian yang telah dilakukan dalil Pythagoras dapat digunakan untuk
menghitung panjang sisi segitiga siku-siku. Dan dapat diturunkan rumus-rumus
berikut ini :
Jika
siku-siku
dititik A, maka berlaku :
BC2 = AC2 + AB2 atau
a2 =
b2 + c2, atau
b2 = a2
- c2, atau
c2 =
a2 - b2
Contoh 1 :
1. Misalkan segitiga
siku-siku
dititik A. Panjang AB = 4 cm dan AC = 3cm. Hitunglah panjang BC!
Jawab :
Contoh 2 :
2. Segitiga ABC
adalah segitiga
siku-siku.
Jika panjang AB
= 7 cm dan BC = 25 cm, hitunglah panjang AC!
Jawab :
AC2 = BC2 -
AB2
= 252 -
72
= 625
- 49
= 576
AC = akar 576
= 24
Jadi dapat diketahui panjang AC adalah 24 cm.
Contoh 3 :
3. Suatu segitiga siku-siku, diketahui panjang AC = 15 cm, panjang BC = 17 cm. Maka
tentukanlah panjang AB!
Jawab :
AB2
= BC2
- AC2
= 172
- 152
= 289 -
225
=
64
AB = akar 64
=
8
Jadi diketahui panjang AB pada segitiga tersebut
adalah 8 cm.2. Menentukan Jenis Segitiga
Dalil
pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Dengan kata lain kebalikan
dalil pythagoras juga berlaku. Kebalikan dalil pythagoras dapat dinyatakan
sebagai berikut:
“Jika suatu
segitiga mempunyai panjang sisi-sisinya a, b, c dan a2 + b2 =
c2, maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau tidak bila
telah diketahui panjang sisi-sisinya.
Dengan
demikian, jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan c
panjang sisi terpanjang, bila
a.
a2 + b2 > c2, maka segitiga
tersebut merupakan segitiga lancip
b.
a2 + b2
= c2, maka segitiga
tersebut merupakan segitiga siku-siku
c.
a2 + b2
< c2, maka segitiga
tersebut merupakan segitiga tumpul
Contoh :
Tentukan jenis masing-masing segitiga yang
panjang sisinya:
a.
5,
12, 134
b.
8,
9, 10
c.
4,
7, 11
Jawab :
a.
52
+ 122 = 169 dan 132 = 169, akibatnya 52 +
122 = 132
b. 82 + 92 = 145 dan 102 = 100, akibatnya 82 + 92 > 102
c. 42 + 72 = 65 dan 112 = 121, akibatnya 42 + 72 < 112
Tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras)
Ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku
sering dinyatakan dalam 3 bilangan asli yang tepat. Tiga bilangan seperti itu
disebut Tigaan Pythagoras
(Tripel Pythagoras).
Untuk mendapatkan 3 bilangan yang
merupakan Tigaan Pythagoras, seperti mengisi tabel berikut dengan cara memilih
dua bilangan asli sembarang, misalnya a dan b, dengan ketentuan a > b .
a
|
b
|
a2
+ b2
|
a2
- b2
|
2ab
|
Tigaan
Pythagoras
|
2
3
3
4
|
1
1
2
3
|
22 + 12 = 5
32 + 12 = 10
32 + 22 = 13
42 + 32 = 25
|
22 - 12 = 3
32 - 12 = 8
32 - 22 = 5
42 - 32 = 7
|
2 x 2 x 1 = 4
2 x 3 x 1 = 6
2 x 3 x 2 = 12
2 x 4 x 3 = 24
|
5, 3, 4
10, 8, 6
13, 5, 12
25, 7, 24
|
3. Menentukan diagonal bidang dan ruang
Berikut contoh
penggunaan dalil Pythagoras pada bidang datar dan bangun ruang
Contoh :
Sebuah persegi panjang berukuran panjang AE 16 cm dan lebar ED 12 cm. Hitunglah panjang salah satu diagonalnya!
Sebuah persegi panjang berukuran panjang AE 16 cm dan lebar ED 12 cm. Hitunglah panjang salah satu diagonalnya!
Jawab :
Misal panjang diagonalnya
x cm, maka :
AD2 = 162
+ 122
= 256
+ 144
= 400
AD = akar 400
AD = akar 400
= 20
Jadi panjang salah satu diagonalnya adalah 20
cm.
Pada balok ABCD.EFGH diatas , diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan CG = 15 cm. Hitunglah panjang AC dan AG!
Jawab :
a. Segitiga ABC siku-siku dititik B, maka :
AC2 = AB2 + BC2
= 82 + 62
= 64 + 36
= 100
AC = akar 100
AC = 10
Jadi, panjang AC adalah 10 cm.
b. Segitiga ACG siku-siku di titik C, maka :
Penggunaan Dalil Pythagoras dalam Kehidupan
b. Segitiga ACG siku-siku di titik C, maka :
AG2 = AC2
+ CG2
= 102 + 152
=
100 + 225
= 325
AG = akar 325
= 18,027 atau dengan cara :
AG = akar 3,25 x 100
= akar 3,25 x akar 100
= 1,8 x
10
=
18 atau
AG =
akar 325
= akar 5 x 5 x 13
= akar 52 x 13
= 5 akar 13 (dalam bentuk sederhana)
Jadi,
panjang AG = 18,027 cm, atau 18 cm, atau 5 akar 13 cm.
Penggunaan Dalil Pythagoras dalam Kehidupan
Berikut ini
contoh penggunaan dalil Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari
Contoh :
Suatu gambar menunjukkan tembok bagian samping sebuah rumah. Panjang AB = 8 m, BC = 4 m, dan CD = 10 m. Jika tembok itu akan dicat dengan biaya Rp 500,00 per meter persegi, hitunglah seluruh biaya yang diperlukan!
Jawab :
ED2
= CD2 -
EC2
=
102
- 82
=
100
- 64
=
36
ED = akar 36
ED = 6
AD = AE
+ ED
=
4 +
6
=
10
Luas
Trapesium ABCD = (AD + BC )
AB
2
=
(10 + 4) X 8
2
=
56
Luas trapesium ABCD =
56 m2
Jadi, biaya pengecatan = 56
Rp 500,00
=
Rp 28.000,00
Pada gambar diatas sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah Utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat semula!
Jawab :
CA2 = CB2
+ BA2
= 802
+ 602
=
6.400 + 3.600
=
10.000
AC = akar 10.000
AC = 100
Jadi, jarak kapal sekarang dari tempat semula
adalah 100 km.
DAFTAR PUSTAKA
BUKU LAPIS MATEMATIKA 3 PGMI
Matematika untuk SMP Kelas 2, semester 1 Penerbit Erlangga