Rabu, 11 April 2012

Penggunaan Dalil Pythagoras



MAKALAH
MATEMATIKA
PENGGUNAAN DALIL PYTHAGORAS DALAM
PEMECAHAN MASALAH SEHARI-HARI








Dosen Pengampu :
KURNIA HIDAYATI, M. Pd
Oleh :
LIA DUWI AGISTINA (210610094)

JURUSAN TARBIYAH
PENDIDIKAN GURU MADRASAH IBTIDAIYAH (PGMI)
STAIN PONOROGO
 APRIL 2012




 Penggunaan Dalil Pythagoras

Dalil Pythagoras dapat digunakan untuk berbagai permasalahan yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Beberapa penggunaan itu diantaranya menghitung panjang sisi-sisi segitiga siku-siku, menentukan jenis segitiga, menentukan diagonal bidang dan ruang.  Selain itu dapat pula digunakan untuk memecahkan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan dalil Pythagoras.
Berikut penggunaan dalil Pythagoras tersebut: 
1.   Menghitung panjang sisi-sisi segitiga siku- siku 



Pada setiap segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Gambar diatas adalah yang siku-siku di A. Sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut sisi siku-siku yaitu AB dan AC. Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa).
Sehingga dari pembuktian yang telah dilakukan dalil Pythagoras dapat digunakan untuk menghitung panjang sisi segitiga siku-siku. Dan dapat diturunkan rumus-rumus berikut ini :
Jika siku-siku dititik A, maka berlaku :

BC2  =  AC2 + AB2  atau
  a2     =    b2   +   c2, atau
 b2   =      a2   -   c2, atau
  c2  =      a2   -   b2  

Contoh 1   :
1.   Misalkan segitiga siku-siku dititik A. Panjang AB = 4 cm dan AC = 3cm. Hitunglah panjang BC!
Jawab  :
                  BC2  = AC 2    + AB2
                           = 32    +  42
                            =  9   +  16
                            =  akar 25
                             =  5
            Jadi diketahui panjang BC adalah 5 cm.
                Contoh 2   :
2.   Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Jika panjang AB = 7 cm dan BC = 25 cm, hitunglah panjang AC!
Jawab :
AC2 = BC2  -  AB2                      
          =  252 72
         =  625  - 49
         =  576
AC   =  akar 576
         =  24
Jadi dapat diketahui panjang AC adalah 24 cm.
                      
  Contoh 3   :
3.  Suatu segitiga siku-siku, diketahui panjang AC = 15 cm, panjang BC = 17 cm. Maka tentukanlah panjang AB!
Jawab :

AB2   =  BC2   - AC2
         =  172   -  152
         =  289 - 225
         = 64
AB   = akar 64
         = 8
Jadi diketahui panjang AB pada segitiga tersebut adalah 8 cm.

          2.  Menentukan Jenis Segitiga
                    Dalil pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Dengan kata lain kebalikan dalil      pythagoras juga berlaku. Kebalikan dalil pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut:
“Jika suatu segitiga mempunyai panjang sisi-sisinya a, b, c dan a2 + b2 = c2, maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau tidak bila telah diketahui panjang sisi-sisinya.
Dengan demikian, jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan c panjang sisi terpanjang, bila
a.       a2  +  b> c2, maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip
b.      a2  +  b2  = c2, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku
c.       a2  +  b2  < c2, maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul
Contoh :
Tentukan jenis masing-masing segitiga yang panjang sisinya:
a.       5, 12, 134
b.      8, 9, 10
c.       4, 7, 11
Jawab :
a.       52 + 122 = 169 dan 132 = 169, akibatnya 52 + 122 = 132
Jadi segitiga siku-siku










b.      82 + 9= 145 dan 102 = 100, akibatnya 82 + 92   >  102
Jadi segitiga lancip









c.       4+ 7= 65 dan 112 = 121, akibatnya 4+ 7 112
Jadi segitiga tumpul








             

 
       Tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras)
            Ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sering dinyatakan dalam 3 bilangan asli yang tepat. Tiga bilangan seperti itu disebut Tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras).
            Untuk mendapatkan 3 bilangan yang merupakan Tigaan Pythagoras, seperti mengisi tabel berikut dengan cara memilih dua bilangan asli sembarang, misalnya a dan b, dengan ketentuan a > b .
a
b
a2 + b2
a2 - b2
2ab
Tigaan Pythagoras
2
3
3
4





1
1
2
3





22 + 12 = 5
32 + 12 = 10
32 + 22 = 13
42 + 32 = 25





22 - 12 = 3
32 - 12 = 8
32 - 22 = 5
42 - 32 = 7





2 x 2 x 1 = 4
2 x 3 x 1 = 6
2 x 3 x 2 = 12
2 x 4 x 3 = 24





5, 3, 4
10, 8, 6
13, 5, 12
25, 7, 24








            3. Menentukan diagonal bidang dan ruang
                 Berikut contoh penggunaan dalil Pythagoras pada bidang datar dan bangun ruang
               Contoh :


          Sebuah persegi panjang  berukuran panjang  AE 16 cm dan lebar ED 12 cm. Hitunglah panjang    salah satu diagonalnya!
           Jawab :
             Misal panjang diagonalnya x cm, maka :
                                     AD2     = 16+  122 
                                                 = 256 +  144
    =  400
AD   = akar 400
     = 20
Jadi panjang salah satu diagonalnya adalah 20 cm.



Pada balok ABCD.EFGH diatas , diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan  CG = 15 cm. Hitunglah panjang AC dan AG!
Jawab :
a. Segitiga ABC siku-siku dititik B, maka :
    AC2 = AB2  +  BC2
            =  82    +  62
            = 64  +  36
             = 100
    AC  = akar 100
    AC  = 10
    Jadi, panjang AC adalah 10 cm.
b. Segitiga ACG siku-siku di titik C, maka :
   AG2     =   AC2  +  CG2
    =  102    +  152
                =   100  +  225
                =   325
   AG        =  akar 325
                = 18,027 atau dengan cara :
  AG        = akar 3,25 x 100
               = akar 3,25 x akar 100
               = 1,8     x   10
               =  18 atau
  AG        =  akar 325
               = akar 5 x 5 x 13
               = akar 52 x 13
               = 5 akar 13 (dalam bentuk sederhana)
 Jadi, panjang AG = 18,027 cm, atau 18 cm, atau 5 akar 13 cm.

   
Penggunaan Dalil Pythagoras dalam Kehidupan
Berikut ini contoh penggunaan dalil Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari
Contoh :









Suatu gambar menunjukkan tembok bagian samping sebuah rumah. Panjang AB = 8 m, BC = 4 m, dan CD = 10 m. Jika tembok itu akan dicat dengan biaya Rp 500,00 per meter persegi, hitunglah seluruh biaya yang diperlukan!
Jawab :
ED2  = CD2 -   EC2
         = 10 -  82
         = 100  -  64
         = 36
ED    = akar 36
ED    = 6
AD   = AE + ED
         = 4    +  6
         = 10
Luas Trapesium ABCD          = (AD + BC ) AB
                                                               2
                                                = (10 + 4) X 8
                                                            2
                                                = 56
Luas trapesium ABCD           = 56 m2
Jadi, biaya pengecatan            = 56 Rp 500,00
                                                = Rp 28.000,00






      








       Pada gambar diatas sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah Utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat semula!
Jawab :
  CA2    = CB2 + BA2
             =  80+  602
            = 6.400 + 3.600
            = 10.000
AC      = akar 10.000
AC      =  100
Jadi, jarak kapal sekarang dari tempat semula adalah 100 km.





DAFTAR PUSTAKA
BUKU LAPIS MATEMATIKA 3 PGMI
Matematika untuk SMP Kelas 2, semester 1 Penerbit Erlangga